法律解析：

私自开除员工需要根据具体情况进行赔偿，可能包括经济补偿或赔偿金等。

当用人单位私自开除员工时，问题需要综合多方面因素来确定。首先要明确用人单位解除劳动合同是否符合法律规定。如果是违法解除，那么员工有权获得相应的赔偿。

经济补偿的计算通常是根据员工在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

如果是违法解除劳动合同，用人单位则需要向员工支付赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍。例如，员工工作了 5 年，月工资为 5000 元，那么违法解除劳动合同的赔偿金为 5000×5×2=50000 元。

还可能涉及到一些其他情况，比如未提前通知的代通知金等。同时，员工还可以主张用人单位支付拖欠的工资、奖金、提成等应得收入。如果用人单位的解除行为给员工造成了其他损失，如名誉损害等，员工也可以要求赔偿。

在实际操作中，员工可以通过与用人单位协商、向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁等方式来维护自己的权益。如果员工对仲裁结果不服，还可以向法院。需要注意的是，员工应及时主张自己的权利，以免超过法定时效。总之，私自开除员工的赔偿问题需要具体情况具体分析，员工应根据自身实际情况依法维护自己的合法权益。

法律依据：

《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条

用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。

第八十七条

用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。