法律解析：

私人培训机构不退钱，可能比较怕向市场监管部门、教育部门等相关主管部门举报，以及通过法律途径进行起诉。

当遇到私人培训机构不退钱的情况时，以下这些举报或处理方式可能会让其有所忌惮。

向市场监管部门举报是很有效的手段。市场监管部门有权对其经营行为进行监管和查处，一旦接到举报，会对培训机构的违规行为展开调查，这可能会导致其面临行政处罚，如罚款、责令整改等，对其声誉和经营都会产生较大影响。

教育部门的监管也不容忽视。因为培训机构从事的是教育相关业务，教育部门对其具有管理职责。向教育部门举报，可能会促使其介入并督促培训机构妥善处理退款问题。

通过法律途径解决也是重要的方式。可以向法院，要求培训机构退还相应款项。在法律面前，培训机构必须依法承担相应责任。如果培训机构败诉，不仅需要退款，还可能需要承担诉讼费用等额外支出。

同时，在社交媒体等平台上曝光其不退钱的行为，也可能对培训机构造成舆论压力。公众的关注和谴责会影响其招生和声誉，使其不得不重视退款问题的解决。

总之，私人培训机构不退钱时，多种举报和处理方式相结合，能更有效地促使其履行退款义务。

法律依据：

《中华人民共和国消费者权益保护法》 第三十九条

消费者和经营者发生消费者权益争议的，可以通过下列途径解决：

（一）与经营者协商和解；

（二）请求消费者协会或者依法成立的其他调解组织调解；

（三）向有关行政部门投诉；

（四）根据与经营者达成的仲裁协议提请仲裁机构仲裁；

（五）向人民法院提起诉讼。