法律解析：

公司辞退员工不用补偿的情形主要包括员工在试用期间被证明不符合录用条件；严重违反用人单位的规章制度；严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害；劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正；以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同致使劳动合同无效；被依法追究刑事责任等。

根据相关法律法规，以下是公司辞退员工不用补偿的具体情形。首先，在试用期间被证明不符合录用条件的员工，公司可予以辞退而无需补偿。这要求公司有明确的录用条件且能证明员工确实不符合。其次，员工严重违反用人单位的规章制度，比如多次旷工、严重违反工作纪律等，前提是规章制度合法且员工知晓。再者，严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害，例如因工作失误给公司带来巨大经济损失。还有，劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，经用人单位提出拒不改正的情况。此外，若员工以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同致使劳动合同无效，公司辞退也无需补偿。最后，被依法追究刑事责任的员工，公司有权辞退且不补偿。需要注意的是，公司在辞退员工时，应当遵循合法的程序和要求，否则可能面临法律风险。用人单位必须有充分的证据和依据来支持辞退行为，以避免可能的劳动纠纷。

法律依据：

《中华人民共和国劳动法》第三十九条