法律解析：

一般情况下，由申请方先垫付伤情鉴定费用。

在涉及被打后进行伤情鉴定时，通常是由申请鉴定的一方先承担鉴定费用。这是较为常见的做法。

最终谁来承担这笔费用可能会因具体情况而异。如果经过鉴定，伤情构成了刑事案件，且加害方被依法追究刑事责任，那么在后续的司法程序中，法院可能会判决加害方承担包括伤情鉴定费用在内的相关费用。在民事案件中，如果受害人胜诉，鉴定费用也有可能被判定由败诉方，即加害方承担。

如果案件涉及到其他责任方，如在某些公共场所发生的伤害事件，可能会根据具体的责任划分来确定费用的承担主体。

值得注意的是，无论最终由谁承担，进行伤情鉴定对于明确伤害程度、维护自身权益以及推动司法程序的公正进行都具有重要意义。它是确定伤害性质和程度的关键依据，能够为后续的法律处理提供科学、客观的证据支持。所以，在遭受伤害后，应及时申请伤情鉴定，以保障自己的合法权益。同时，要妥善保留相关证据和费用支付凭证，以便在需要时能够提供有力的支持。

法律依据：

《公安机关办理伤害案件规定》 第十八条

公安机关受理伤害案件后，应当在24小时内开具伤情鉴定委托书，告知被害人到指定的鉴定机构进行伤情鉴定。

第十九条

根据国家有关部门颁布的人身伤情鉴定标准和被害人当时的伤情及医院诊断证明，具备即时进行伤情鉴定条件的，公安机关的鉴定机构应当在受委托之时起24小时内提出鉴定意见，并在3日内出具鉴定文书。

对伤情比较复杂，不具备即时进行鉴定条件的，应当在受委托之日起7日内提出鉴定意见并出具鉴定文书。

对影响组织、器官功能或者伤情复杂，一时难以进行鉴定的，待伤情稳定后及时提出鉴定意见，并出具鉴定文书。