法律解析：

在符合一定条件下，对方名下的超市有可能会被冻结。

当一方欠款不还而时，法院会根据具体情况来决定是否采取财产保全措施，包括冻结被告名下的财产。如果对方名下的超市属于其可供执行的财产，并且存在以下情况，就有可能被冻结：

原告需要向法院提出财产保全申请，并提供相应的担保。法院会对申请进行审查，以确定是否有必要采取保全措施。

如果法院认为有必要，会依法作出裁定，对被告名下的超市进行冻结。这样做的目的是为了防止被告在诉讼期间转移、隐匿或处分财产，以保障将来判决的执行。

并非所有情况下超市都会被立即冻结。法院会综合考虑多种因素，如欠款的金额大小、超市的价值、对被告及他人生产生活的影响等。如果冻结超市可能会对被告或其他人造成过度的困难或损失，法院可能会选择其他保全方式或在一定程度上限制冻结的范围。

即使超市被冻结，被告也有权提出异议或申请解除冻结。如果被告能够提供充分的证据证明冻结是不合理的或存在其他合法理由，法院可能会重新考虑保全措施。

总之，欠款不还起诉后名下超市是否会被冻结，取决于具体的案件情况和法院的裁定。在诉讼过程中，各方都有权利和义务依法维护自己的利益。

法律依据：

《中华人民共和国民事诉讼法》 第二百五十三条

被执行人未按执行通知履行法律文书确定的义务，人民法院有权向有关单位查询被执行人的存款、债券、股票、基金份额等财产情况。人民法院有权根据不同情形扣押、冻结、划拨、变价被执行人的财产。人民法院查询、扣押、冻结、划拨、变价的财产不得超出被执行人应当履行义务的范围。

人民法院决定扣押、冻结、划拨、变价财产，应当作出裁定，并发出协助执行通知书，有关单位必须办理。