商家的赠品不可以是三无产品。

根据我国相关法律法规，无论是商品还是赠品，都应当符合产品质量的要求和标准。

赠品虽然是免费提供给消费者的，但同样也是商家促销活动的一部分，不能因为是赠品就降低质量标准或逃避法律监管。

如果商家提供的赠品是三无产品，消费者有权要求商家承担相应的法律责任。

消费者在购买商品时，获得的赠品也应当具有正常的使用价值和安全性。如果赠品存在质量问题，可能会对消费者的人身和财产安全造成威胁。

同时，监管部门对于商家的赠品也有和管理的权力，一旦发现商家提供三无赠品，会依法进行处理。

《产品质量法》第二十七条

产品或者其包装上的标识必须真实，并符合下列要求：

（一）有产品质量检验合格证明；

（二）有中文标明的产品名称、生产厂厂名和厂址；

（三）根据产品的特点和使用要求，需要标明产品规格、等级、所含主要成份的名称和含量的，用中文相应予以标明；需要事先让消费者知晓的，应当在外包装上标明，或者预先向消费者提供有关资料；

（四）限期使用的产品，应当在显著位置清晰地标明生产日期和安全使用期或者失效日期；

（五）使用不当，容易造成产品本身损坏或者可能危及人身、财产安全的产品，应当有警示标志或者中文警示说明。

裸装的食品和其他根据产品的特点难以附加标识的裸装产品，可以不附加产品标识。