法律解析：

商家的赠品不可以是三无产品。

根据相关法律法规和商业道德准则，商家提供的赠品也需要符合一定的质量和合规标准，不可以是三无产品。

赠品也是商品的一种形式，尽管它是免费提供给消费者的，但这并不意味着商家可以降低其质量和安全要求。消费者在接受赠品时，同样对其质量和安全性有合理的期待。

从法律角度来看，商家有义务确保其销售的所有商品，包括赠品，符合国家相关的质量、安全、标识等标准。如果赠品是三无产品，可能会面临法律责任和处罚。

提供高质量的赠品有助于提升商家的品牌形象和消费者的满意度。如果赠品质量差甚至是三无产品，可能会给消费者留下不良印象，对商家的声誉产生负面影响。

消费者对于赠品的质量问题也有权利进行投诉和维权。如果发现赠品是三无产品，消费者可以向商家提出更换、等要求，或者向相关监管部门投诉，以维护自己的合法权益。

总之，商家在选择赠品时，应该秉持诚信和负责任的态度，确保赠品不是三无产品，以保障消费者的权益和自身的商业信誉。

法律依据：

《产品质量法》第二十七条

产品或者其包装上的标识必须真实，并符合下列要求：

（一）有产品质量检验合格证明；

（二）有中文标明的产品名称、生产厂厂名和厂址；

（三）根据产品的特点和使用要求，需要标明产品规格、等级、所含主要成份的名称和含量的，用中文相应予以标明；需要事先让消费者知晓的，应当在外包装上标明，或者预先向消费者提供有关资料；

（四）限期使用的产品，应当在显著位置清晰地标明生产日期和安全使用期或者失效日期；

（五）使用不当，容易造成产品本身损坏或者可能危及人身、财产安全的产品，应当有警示标志或者中文警示说明。

裸装的食品和其他根据产品的特点难以附加标识的裸装产品，可以不附加产品标识。