嫌疑人自伤自残的处置方式如下：

1. 立即制止：发现嫌疑人有自伤自残行为，应第一时间采取措施制止，确保其不再继续伤害自己。

2. 紧急救治：对嫌疑人的伤势进行评估，如有必要，立即呼叫急救人员进行救治，保障其生命安全。

3. 调查原因：了解嫌疑人自伤自残的原因，是因为心理压力、逃避法律责任还是其他因素。

4. 加强监管：增加对嫌疑人的监管力度，防止其再次出现自伤自残行为。

5. 心理干预：安排专业的心理医生或心理咨询师对嫌疑人进行心理评估和干预，帮助其解决心理问题。

需要注意的是，在处置过程中，要严格遵循法律法规和相关程序，保障嫌疑人的合法权益。

《看守所条例》第二十六条

看守所应当配备必要的医疗器械和常用药品。人犯患病，应当给予及时治疗；需要到医院治疗的，当地医院应当负责治疗；病情严重的可以依法取保候审。

第二十七条

人犯在羁押期间死亡的，应当立即报告人民检察院和办案机关，由法医或者医生作出死亡原因的鉴定，并通知死者家属。