法律解析：

未婚生子抚养权证明的开具，通常需要通过法律途径，如协商或诉讼确定抚养权归属后，由相关司法机关出具相应文书。

在未婚生子的情况下，要开具抚养权证明，首先需要明确抚养权的归属。如果父母双方能够通过协商达成一致意见，明确子女抚养权归哪一方，那么可以签订一份抚养权协议，并进行公证。公证后的协议可以作为一种证明。

如果双方无法协商一致，就可能需要通过诉讼途径来解决抚养权问题。在诉讼过程中，法院会根据子女的最佳利益原则，综合考虑父母双方的抚养能力、抚养条件、子女的意愿等因素，来判定抚养权的归属。一旦法院作出判决，判决书就是最有力的抚养权证明。

为了进一步强化证明效力，还可以向法院申请出具抚养权确认裁定书。在一些特定情况下，可能还需要提供子女的出生证明、父母双方的身份证明等相关材料。

需要注意的是，无论通过哪种方式确定抚养权，都要确保符合法律规定和子女的利益。同时，父母双方也应该积极履行抚养义务，为子女的健康成长创造良好的条件。

法律依据：

《中华人民共和国民法典》 第一千零七十一条

非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。

不直接抚养非婚生子女的生父或者生母，应当负担未成年子女或者不能独立生活的成年子女的抚养费。