法律解析：

起诉变更孩子抚养权的判决书下达时间，通常在几个月左右，但具体情况会因各种因素而有所不同。

变更孩子抚养权的案件，其判决书的下达时间受到多方面因素的影响。案件的复杂程度是重要因素之一。如果案件事实较为清晰，双方争议不大，那么审理过程可能相对较快；但如果存在诸多争议点，例如孩子的意愿、双方的抚养条件存在较大分歧等，可能需要更多的时间来调查和审理。

法院的工作负荷也会对时间产生影响。不同地区的法院案件数量不同，工作繁忙程度各异，这可能导致审理进度的快慢有所差别。

在一般情况下，从起诉到判决可能需要几个月的时间。法院会按照法定程序进行审理，包括受理案件、送达文书、开庭审理、评议等环节。在此过程中，双方需要提交证据、进行辩论等。

为了尽量缩短审理时间，当事人应当积极配合法院的工作，及时提供相关证据和信息。同时，要尊重法律程序和法官的工作，避免不必要的拖延和纠纷。如果对判决结果不满意，还可以在规定的时间内提起上诉。

需要注意的是，具体的时间无法确切给出，因为每个案件都有其独特性。当事人可以通过与沟通、关注案件进展等方式，了解案件的大致进度。

法律依据：

《中华人民共和国民事诉讼法》 第一百五十二条

人民法院适用普通程序审理的案件，应当在立案之日起六个月内审结。有特殊情况需要延长的，经本院院长批准，可以延长六个月；还需要延长的，报请上级人民法院批准。